Mat3 Blatt 3

Gruppe: 7
Maarten Behn, Niklas Borchers, Emre Kilinc

9. Urnenmodell

a)

$P(RR)=\frac{r}{r+s}\cdot \frac{r-1}{r+s-1}$
Beim zweiten Zug gibt es eine rote Kugel weniger daher wird $r$ zu $r-1$ und $r+s$ zu $(r-1)+s=r+s-1$.

b)

$P(RS)=\frac{r}{r+s}\cdot \frac{s}{r+s-1}$

10. Formel von Bayes

Wahrscheinlichkeit das ein Bild original ist: $P(B_o)=\frac{10}{12}=0.83$
Wahrscheinlichkeit das ein Bild eine Fälschung ist: $P(B_f)=\frac{2}{12}=0.16$
Wahrscheinlichkeit das der Experte ein Bild als Original beruteilt: $P(E_o)$
Wahrscheinlichkeit das der Experte ein Bild als Fälschung beruteilt: $P(E_f)$
Wahrscheinlichkeit das der Experte richtig liegt: $P(E_o|B_f)=P(E_f|B_o)=0.9$
Wahrscheinlichkeit das der Experte falsch liegt: $P(E_o|B_o)=P(E_f|B_f)=1-P(E_o|B_f)=0.1$

Wir suchen:
$P(B_o|E_f)=\frac{P(E_f|B_o)P(B_o)}{P(E_f|B_o)P(B_o)+P(E_f|B_f)P(B_f)}$
$=\frac{0.9\cdot 0.83}{(0.9\cdot 0.83)+(0.1\cdot 0.16)}$
$=0.979$

11. Totale Wahrscheinlichkei

Wahrscheinlichkeit das der Transistor aus Box $i$ kommt: $P(B_i)$ mit $1\le i\le 3i\in \mathbb{N}$
Wahrscheinlichkeit das der Transistor defekt ist: $P(D)$

$P(D)=P(D\cap B_1)+P(D\cap B_2)+P(D\cap B_3)$
$=P(D|B_1)P(B_1)+P(D|B_2)P(B_2)+P(D|B_3)P(B_3)$
$=\left(\frac{5}{12}\cdot \frac{1}{3}\right)+\left(\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{3}\right)+\left(\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{3}\right)$
$=\frac{73}{216}=0.338$

12. Multiple Select-Aufgabe

a)

Falsch denn,
$\mathbb{P}(B|A)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}$
$\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(B|A)\cdot \mathbb{P}(A)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8}\ne 0$

b)

Richtig denn,
Wenn $A\subset B$ dann muss $\mathbb{P}(A)\le \mathbb{P}(B)$

$\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}$
$\mathbb{P}(B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A|B)}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
$\mathbb{P}(A)<\mathbb{P}(B)⟺\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$

c)

Richtig denn,
$\mathbb{P}(\complement A|\complement B)=\frac{\mathbb{P}(\complement A\cap \complement B)}{\mathbb{P}(\complement B)}$
$=\frac{\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)}{1-\mathbb{P}(B)}$ da $A\subseteq B$
$=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3}{4}$

d)

Falsch denn,
$\mathbb{P}(A|\complement B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap \complement B)}{\mathbb{P}(\complement B)}$
$=\frac{\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(A\cap B)}{1-\mathbb{P}(B)}$
$=\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}$

$\mathbb{P}(A|B)+\mathbb{P}(A|\complement B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\ne 1$