Mat3 Blatt 9

Gruppe: 7
Maarten Behn, Niklas Borchers, Emre Kilinc

33. Berechnung von Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Es sei $X$ eine reellwertige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $F_X$ , gegeben durch

F_{X}(x) = \left{
\begin{array}{ll}
0 & \textrm{für} ; x < -2, \
\frac{1}{4} & \textrm{für} ; -2 \leq x < \frac{-1}{2}, \
\frac{1}{2} & \textrm{für} ; \frac{-1}{2} \leq x < \frac{3}{7}, \
\frac{4}{5} & \textrm{für} ; \frac{3}{7} \leq x < \frac{8}{11}, \
1 & \textrm{für} ; \frac{8}{11} \leq x. \
\end{array}
\right.$$

a) Berechnen Sie die Schiefe der Zufallsvariable $X$.

Man kann die Formal aus der Vorlesungen:

$$m_3\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)={\sigma }^{-3}\cdot {\mu }_3(X)$$

für die Schiefe $S$ umstellen zu:

$$S=\frac{\mathbb{E}(X-\mu {)}^3}{{\sigma }^3}=\frac{{\mu }_3}{{\sigma }^3}$$ $$\begin{array}{rl}E(X)& =\sum _{\forall x}xf(x)\\ & =\left(-2\cdot \frac{1}{4}\right)+\left(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\right)+\left(\frac{3}{7}\cdot \frac{3}{10}\right)+\left(\frac{8}{11}\cdot \frac{1}{5}\right)\\ & \approx -0.350974=:\mu \end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\sigma }^2& =E((X-\mu {)}^2)\\ & =\sum _{\forall x}(x-\mu {)}^2\cdot f(x)\\ & =\left(0.492730\cdot \frac{1}{4}\right)+\left(0.030795\cdot \frac{1}{4}\right)\\ & +\left(0.022625\cdot \frac{3}{10}\right)+\left(0.065154\cdot \frac{1}{5}\right)\\ & \approx 0.203630\end{array}$$ $$\sigma =\sqrt{0.203630}\approx 0.451254$$ $$\begin{array}{rl}{\mu }_3& =E((X-\mu {)}^3)\\ & =\sum _{\forall x}(x-\mu {)}^3\cdot f(x)\\ & =\left(0.345871\cdot \frac{1}{4}\right)+\left(0.0054042\cdot \frac{1}{4}\right)\\ & +\left(-0.003402\cdot \frac{3}{10}\right)+\left(-0.016630\cdot \frac{1}{5}\right)\\ & \approx 0.083472\end{array}$$ $$S=\frac{{\mu }_3}{{\sigma }^3}=\frac{0.083472}{0.451254^3}=0.908401$$

b) Berechnen Sie die Wölbung (Kurtosis) der Standardnormalverteilung.

Für die Standardnormalverteilung
$\mu =0$
$\sigma =1$
Der 4. zentrale Moment ${\mu }_4(X)=\mathbb{E}[(X-\mu {)}^4]=3$
$\text{Kurtosis}={\sigma }^{-4}\cdot {\mu }_4(X)=1^{-4}\cdot 3=3$

34. Chebyshev’sche Ungleichung

Chebyshev’sche Ungleichung.
Angenommen, auf zwei Gefäße $A$ und $B$ mit je einem halben Liter Fassungsvermögen werden $0,26\cdot 1023$ Gas-Moleküle so (zufällig) verteilt, dass jedes Molekül unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit $1/2$ in $A$ bzw. $B$ gelangt. Schätzen Sie vermittels der Chebyshev’schen Ungleichung die Wahrscheinlichkeit dafür ab, dass in eines der beiden Gefäße mindestens $0,13\cdot 10^{23}\cdot (1+10^{-8})$ Moleküle gelangen.

Wenn $X$ die Anzahl der Moleküle, die in Gefäß $A$ gelangen und jedes Molekül mit Wahrscheinlichkeit $1/2$ in $A$ geht, dann

$$X\sim \mathrm{Binom}(n=0,26\cdot 10^{23},p=1/2)$$ $$\mathbb{E}[X]=np=0,13\cdot 10^{23}$$ $$\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=0,13\cdot 10^{23}\cdot \frac{1}{2}=0,065\cdot 10^{23}$$

Wenn wir dann in die Schranke der Chebyshev’sche Ungleichung reinpacken

$$\epsilon =\mathbb{E}[X]\cdot 10^{-8}=0,13\cdot 10^{23}\cdot 10^{-8}=0,13\cdot 10^{15}$$

dann in der Ungleichung

$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}\left(|X-\mathbb{E}[X]|\ge 0,13\cdot 10^{15}\right)& \le \frac{0,065\cdot 10^{23}}{(0,13\cdot 10^{15}{)}^2}\\ & =\frac{0,065\cdot 10^{23}}{0,0169\cdot 10^{30}}\\ & =\frac{0,065}{0,0169}\cdot 10^{-7}\\ & \approx 3,85\cdot 10^{-7}\end{array}$$

35. Parameter-Fit für die geometrische Verteilung.

Im Rahmen industrieller Fertigungsprozesse interessiert man sich für Aspekte der Qualitätskontrolle.
Angenommen, nach $50$ intakten Bauteilen tritt das erste Mal ein hergestelltes Bauteil auf, welches sich als Ausschuss erweist, also unbrauchbar ist.
Bestimmen Sie unter der Annahme, dass dieses Experiment mit einem Bernoulli’schen Versuchsschema mit (prinzipiell) beliebig vielen Kontrollvorgängen modelliert wird, denjenigen Parameterwert $p$ (hier ist $p$ als der mittlere Ausschussanteil der Produktionsanlage zu interpretieren), unter dem die Wahrscheinlichkeit für das geschilderte Ereignis maximal ist.

Dieses Experiment lässt sich durch eine geometrische Zufallsvariable $X$ beschreiben, die die Anzahl der Erfolge (intakte Bauteile) bis zum ersten Fehler zählt.

• $X$ ist die Anzahl intakter Bauteile vor dem ersten Ausschuss.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Fehler nach genau $k$ intakten Bauteilen auftritt, ist

$$P(X=k)=(1-p{)}^k\cdot pk=0,1,2,\dots$$

in dem Beispiel ist $k=50$ (Der Fehler taucht im 51 Bauteil auf)

Maximierung von $L(p)$

$$L(p)=P(X=50)=p(1-p{)}^{50},p\in (0,1).$$ $$\begin{array}{rl}{L}^{\prime }(p)& =(1-p{)}^{50}-p\cdot 50(1-p{)}^{49}\\ & =(1-p{)}^{49}((1-p)-50p)\\ & =(1-p{)}^{49}(1-51p)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{L}^{\prime \prime }(p)& =\frac{d}{dp}\left[(1-p{)}^{49}(1-51p)\right]\\ & =\frac{d}{dp}(1-p{)}^{49}\cdot (1-51p)+(1-p{)}^{49}\cdot \frac{d}{dp}(1-51p)\\ & =-49(1-p{)}^{48}\cdot (-1)\cdot (1-51p)+(1-p{)}^{49}\cdot (-51)\\ & =-49(1-p{)}^{48}(1-51p)-51(1-p{)}^{49}\\ & =-(1-p{)}^{48}\left[49(1-51p)+51(1-p)\right]\\ & =-(1-p{)}^{48}\left[49-2499p+51-51p\right]\\ & =-(1-p{)}^{48}\left[100-2550p\right]\end{array}$$

Nullstellen der Ableitung

• $(1-p{)}^{49}=0$ bei $p=1$ (nicht interessant, da $p\in (0,1)$ )
• $1-51p=0\Rightarrow p=\frac{1}{51}=p\approx 0,0196$

Ist es ein Hochpunkt

$L^{\prime \prime }(p)<0$, also is es ein Maximum.

Antwort

Der mittlere Ausschussanteil der Produktionsanlage, unter dem die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Ausschuss genau beim 51. Bauteil auftritt, maximal ist, beträgt etwa $1,96\%$.

36. Multiple Select-Aufgabe

Es sei $X$ eine reellwertige Zufallsvariable, die auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,A,P$) definiert ist und für die $E[X^4]<\infty$ gilt.
Betrachten Sie unter diesen Voraussetzungen die folgenden Aussagen.

Aus der Vorlesung

$$\text{Schiefe}=m_3\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)={\sigma }^{-3}\cdot {\mu }_3(X)=\frac{{\mu }_3(X)}{{\sigma }^3}$$ $$\text{Wo¨lbung}=m_4\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)={\sigma }^{-4}\cdot {\mu }_4(X)\frac{{\mu }_4(X)}{{\sigma }^4}$$

a) Falls $X$ symmetrisch um $E[X]$ verteilt ist, so ist die Schiefe von $X$ gleich Null.

Wenn $X$ symmetrisch um den Erwartungswert $\mu$ verteilt ist, dann gilt:
Für jede positive Abweichung $X-\mu =a$ gibt es eine gleich wahrscheinliche negative Abweichung $X-\mu =-a$.

Da die dritte Potenz eine ungerade Funktion ist, heben sich die positiven und negativen Beiträge im Erwartungswert gegenseitig auf:

$${\mu }_3(X)=\mathbb{E}[(X-\mu {)}^3]=0.$$

daher

$$\text{Schiefe}={\sigma }^{-3}\cdot 0=0.$$

b) Die Schiefe von $X$ kann nicht größer als die Wölbung (Kurtosis) von $X$ sein.

Nein:

Es wird behauptet dass:

${\gamma }_1\le {\gamma }_2$

Gegenbeispiel:

$x$	$P(X=x)$
$-1$	$0.1$
$0$	$0.1$
$1$	$0.8$

Erwartungswert:

$$\begin{array}{rl}\mu & =\mathbb{E}[X]\\ & =(-1)(0.1)+0(0.1)+1(0.8)\\ & =-0.1+0+0.8\\ & =0.7\end{array}$$

Varianz:

$$\begin{array}{rl}{\sigma }^2& =\mathbb{E}[(X-\mu {)}^2]\\ & =(-1-0.7{)}^2\cdot 0.1+(0-0.7{)}^2\cdot 0.1\\ & +(1-0.7{)}^2\cdot 0.8\\ & =0.81\end{array}$$

Schiefe:

$$\begin{array}{rl}{\mu }_3& =\mathbb{E}[(X-\mu {)}^3]\\ & =(-1-0.7{)}^3\cdot 0.1+(0-0.7{)}^3\cdot 0.1+(1-0.7{)}^{3\cdot 0.8}\\ & =-0.891\end{array}$$ $$\text{Schiefe}=\frac{{\mu }_3}{{\sigma }^3}\approx \frac{-0.891}{(0.9{)}^3}\approx -1.22$$

Kurtosis:

$$\begin{array}{rl}{\mu }_4& =\mathbb{E}[(X-\mu {)}^4]\\ & =(-1-0.7{)}^4\cdot 0.1+(0-0.7{)}^4\cdot 0.1+(1-0.7{)}^4\cdot 0.8\\ & =1.219\end{array}$$ $$\text{Kurtosis}=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}\approx \frac{1.219}{(0.9{)}^4}\approx 1.87$$

c) Die Schiefe von $X$ kann nicht kleiner als die Wölbung (Kurtosis) von $X$ sein.

Nein:

Es wird behauptet dass:

${\gamma }_1\ge {\gamma }_2$

Gegenbeispiel

Eine symmetrische Verteilung, z.B. eine Standardnormalverteilung $N(0,1)$:

• $\mu =0$,
• ${\sigma }^2=1$,
• Schiefe ${\gamma }_1=0$ (symmetrisch),
• Wölbung ${\gamma }_2=3$ (Standardnormalverteilung hat Kurtosis 3).

Hier gilt:
${\gamma }_1=0<3={\gamma }_2$

d) Der Korrelationskoeffizient von $X$ mit sich selbst (also $\rho (X,X)$) ist gleich Eins.

Ja:
Der Korrelationskoeffizient $\rho (X,X)$ misst die lineare Abhängigkeit von $X$ mit sich selbst. Formal gilt:

$$\rho (X,X)=\frac{\mathrm{Cov}(X,X)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\cdot \mathrm{Var}(X)}}=\frac{\mathrm{Var}(X)}{\mathrm{Var}(X)}=1,$$

vorausgesetzt, dass $\mathrm{Var}(X)>0$