QR-Zerlegung

LGS: $Ax=b$

ist genau dann lösbar falls:
$b$ im Bild der $Im.Abb.$ $\varphi (x)=Ax$ liegt.

Falls $b\notin Im\varphi$ wollen wir eine “Quasi-Lösung” konstruieren:
$||Ax=b||$ soll minimal sein.

Wir zerlegen $b$ in zwei Variablen: $b=b_{||}+b_{\perp }$
wobei $b_{||}\in Im\varphi$ ist und $b_{\perp }$ orthogonal zu $Im\varphi$ ist.

Das LGS $Ax=b_{||}$ ist lösbar und es gibt:
$||Ax-b|{|}^2=||Ax-b_{||}|{|}^2+||b_{\perp }|{|}^2$

Satz

Sei $e\in {\mathbb{R}}^n$ ein Einheitsvektor, dass heißt $||e||=1$. Dann lässt sich jeder Vektor $v\in {\mathbb{R}}^n$ bezuüglich $e$ in zwei zueinander orthogonale Komponenten zerlegen:
$v=v_{||}+v_{\perp }$
Dabei ist
$v_{||}=⟨e,v⟩e$
und
$v_{\perp }=v-⟨e,v⟩e$