Logisches Schließen

Aus alten Ausagen neue neue erhalten.

Zwei grundsätliche Probleme:

• Sind die Prämissen wirklich wahr?
  • → man postuliert das bestimmte Präsmissen wahr sind (Axiome)
• Wie vermeidet man falsche Schlussfolgerungen?
  • → man löst Problme nach einem System von von bestimmten Regelen

Eine Belegung eines logischen Terms ist eine Zuweisung von Wahrheitswerten zu jeder Aussagenvariable des Terms.

Eine Interpretation eines logischen Termes ist eine Zuordnung von konkreten Aussagen zu jeder Aussagenvariable des Terms. Eine Interpretation erfüllt einen logischen Term, wenn der Term bei der Interpreation wahr wird.

⇒ Jede Interpretation liefert also eine Belegung des logischen Terms.

Notation

$\mathcal{K}$ bezeichnet eine Menge von logischen Termen.
$\{Q\}$ bezeichnet die Menge die nur $Q$ enthält.
$\{P,Q\}$ bezeichnet die Menge die nur $P$ und $Q$ enthält.
$K\cup \{Q\}$ bezeichnet die Menge die neben allen Termen aus $K$ auch $Q$ enthält.

Tertium non datur

(TND)

Ohne jegliche Voraussetzung gilt:

$$\begin{array}{r}P\vee \neg P\end{array}$$Link to original

Voraussetzungsregel

(Vor)

$$\begin{array}{ll}K\cup \{P\}& P\\ K& P\end{array}$$Link to original

Antezedenregel

(Ant)

$$\begin{array}{ll}K& P\\ K\cup \{Q\}& P\end{array}$$Link to original

V-Einführung im Sukzedenz

(V Suk)

\begin{alignat}{1} K & \>\> & P \\ \hline K && P \land Q \end{alignat} \begin{alignat}{1} K & \>\> & P \\ \hline K && Q \land P \end{alignat} Link to original

Fallunterscheidungsregel

(FU)

\begin{alignat}{1} K & \cup\{\neg Q\} \>\> & P \\ K & \cup\{Q\} & P \\ \hline K & &P \end{alignat} Link to original

Wiederspruchsregel

(Wid)

\begin{alignat}{1} K & \cup\{\neg P\} \>\> & Q \\ K & \cup\{\neg P\} & \neg Q \\ \hline K && P \end{alignat}

Modifizierte Wiederspruchsrege

\begin{alignat}{1} K & \>\> & Q \\ K && \neg Q \\ \hline K && P \end{alignat} Link to original

V-Einführung im Antezedenz

(V Ant)

\begin{alignat}{1} K & \cup\{ P \} & R \\ K & \cup\{ Q \} & R \\ \hline K & \cup\{ P \vee Q \} \>\> & R \end{alignat} Link to original

Kettenschlussregel

(KS)

\begin{alignat}{1} K & & P \\ K & \cup \{ P \} \> \ & Q \\ \hline K & & Q \end{alignat} Link to original

Knotrapositionsregel

(KP)

\begin{alignat}{1} K & \cup \{ \neg Q \} \>\> & \neg P \\ \hline K & \cup \{ P \} & Q \end{alignat} Link to original

Es gibt viele weitere Regeln

Wie z.B. :

\begin{alignat}{1} K & \>\> & P \vee Q \\ K & & \neg P \\ \hline K & & Q \end{alignat}