Menge

up:: Mat1 MOC

Quelle:
20221028_TH_M1-Skript_v02-2.pdf

Definition

Eine Menge ist eine wohdefinierte Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschaung oder Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte nennt man Elemente der Menge.

• zusammenfassung von bestimmten Objekten.
• nicht zweimal das gleiche Objekt

Notation

$\{0,1\}$ die Menge die 0 und 1 enthält.
$\{a,b,\{c\}\}$ die Menge die a, b und die Menge die nur c enthält enthält.

$a\in M$ $a$ ist ein Element von $M$

$\{x\in \mathbb{R}|x>1\wedge x<2\}$ alle $x$ zwischen 1 und 2

$i\in \mathbb{R}$

allgemein geschrieben als:
$\{x\in A|P(x)\}$

Russellsche Antinomie

Definition

Die Menge $M$ aller Mengen, welche sich nicht selbst enthalten.
⇒ Logisch nicht möglich.

Daher wurde “wohdefinierte” zur Definition von Menge hinzugefügt.

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Axiome

Extensionalitätsaxiom

Definition

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

$\{0,1,1\}=\{0,1\}$
$\{0\}\ne \{\{0\}\}$

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Leermengenaxiom

Definition

Es gibt eine Menge ohne Elemente, genannt die leer Menge

$\{\}=\varnothing$
$\{\}=\{x\in \mathbb{N}|x<1\wedge x>2\}$
$\varnothing \ne \{\varnothing \}$

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Mengenoperationen

Teilmenge

$A\subset B$ / $A\subseteq B$

Definition

wenn jedes Element von $A$ auch in $B$ ist. ($x\in A⟹x\in B$)

$A\subset B$ Teilmenge ($A\ne B$)
$A\subseteq B$ echte Teilmenge ($A=B$)

Jede Megene enthält die leere Menge: $\varnothing \subseteq A$

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Potenzmenge

$\mathcal{P}(A)$

Definition

Die Potenzmenge, die alle Teilmengen von $A$ als Element enthält.

$\mathcal{P}(\varnothing )=\{\varnothing \}$
$\mathcal{P}(\{1,2\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$

$|P(M)|=2^n$

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Kardinaltät

$|A|$

Definition

Die Anzahl der Elemente von $A$
Auch Mächtigkeit gennant.

$|\varnothing |=0$
$|\{1,2\}=2$
$|\mathbb{N}|=\infty$

siehe auch:
gleichmächtige Mengen
Mächtigkeit von Potenzmengen

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Vereinigung

$A\cup B$

Definition:

Die Vereinigung $A\cup B$ zweier Mengen A und B, ist die Menge, die alle Elemente von A und alle Elemente von B enthält.

$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$

$\cup$ änhlich wie $\vee$

$A\cup \varnothing =A=A\cup A$
$\{1,2\}\cup \{p,q\}=\{1,2,p,q\}$
$\{1,2\}\cup \{2,3\}=\{1,2,3\}$

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Durchschnitt

$A\cap B$

Definition

Der Durchschnitt $A\cap B$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller Elemente, welche sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind.

$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$

$A\cap A=A$
$A\cap \varnothing =\varnothing$
$\{1,2,3\}\cap \{3,4,5\}=\{3\}$

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Disjunkt

Definition

Zwei Mengen $A$ und $B$ heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsam Elemente haben.

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$A\cap B=\varnothing$

Differnzmenge

$A\backslash B$

Definition

Die Differnzmenge $A\backslash B$ zweier Mengen A und B ist die Menge der Elemente von A, die nicht in B enthalten sind.

$A\backslash B=\{x\in A|x\notin B\}=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}$

$A\backslash A=\varnothing$
$A\backslash \varnothing =\varnothing$
$\{1,2,3\}\backslash \{3,4,5\}=\{1,2\}$

$A\backslash B=B\backslash A$

Komplement

Definition

Ist B eine Teilmenge von A so nennt man $A\backslash B$ das Kompliment von B in A und schreibt dafür $\complement B$.

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symmetrische Differnz

$A△B$

Definition

Die symmetrische Differnz $A△B$ zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente von $A\cup B$, welche nicht in $A\cap B$ liegen.

$A△B=(A\cup B)\backslash (A\cap B)=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)$

symmetrisch

wenn für alle $x,y\in A$ gilt: $xRy⟹yRx(x=y⟹y=x)$

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geordnetes Paar

$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$

Definition

Diffinert die Reinfolge in dem das erste Element extra heraus gehoben wird. (Kuratowski-Paar)

Paare mit mehr als zwei weden als genestete paare dargestellt.
$(a,b,c)=(a,(b,c))\vee ((a,b),c)$

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katesisches Produkt

$A\times B$

Definition

Das katesisches Produkt $A\times B$ zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare $(a,b)$ mit $a\in A$ und $b\in B$

$A\times B:=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$

$\{1,2\}\times \{a,b\}=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\}$
$\mathbb{R}\times \mathbb{R}={\mathbb{R}}^2=\{(x,y)|x\in \mathbb{R},y\in \mathbb{R}\}$
$A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing$
$A\times B\ne B\times A$

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Mehere Megen

1. Einfache Aufzählung $M_1,M_2,\dots ,M_n$
2. unendlich viele Mengen $M_1,M_2\dots$
3. Ist $I$ allgemein irgendeine Menge, so können wir ein System von Mengen mit den Elementen von $I$ indexieren und schreiben.
   $(M_i|i\in I)$ oder $(M_i{)}_{i\in I}$

Mengensystem

Ein Mengensystem $(M_i|i\in I)$ heißt Famielie von Mengen.

Durchschnitt $\bigcup$

${\bigcup }_{i\in I}{M}_i:=\{x|x\in M_i,\text{fu¨r alle}i\in I\}$

Vereinigung $\bigcap$

${\bigcap }_{i\in I}{M}_i:=\{x|\text{es gibt ein}i\in I\text{mit}x\in M_i\}$

Katesisches Produkt

${\text{bigtimes}}_{i\in I}{M}_i:=?$