ganze Zahlen VL

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Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen  enthält die Zahl 0, alle natürliche Zahlen und ihre Gegenzahlen. Die Gegenzahlen sind die natürlichen Zahlen mit negativem Vorzeichen. Das Symbol der natürlichen Zahlen ist .

    $\mathbb{Z}=\{\dots ;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots \}$

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Rechnen mit Äquivalenzklassen

siehe: Äquivalenzklasse

Definition 5.1

Die Relation $\sim$ auf $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ sei gegeben durch:
$(m,n)\sim (m^{\prime },n^{\prime }):⟺m+n^{\prime }=m^{\prime }+n$

Addition

$\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(a+c,b+d)}$

Es gilt das:

• Assoziativgesetz

• Kommutativgesetz

• Neutrales Element $\overline{(0,0)}+\overline{(a,b)}=\overline{(a,b)}$

• Inverse Element $\overline{(a,b)}+\overline{(b,a)}=\overline{(0,0)}$

Multiplikation

$\overline{(a,b)}\cdot \overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,ad+bc)}$

Es gilt das:

• Kommutativgesetz

• Neutrales Element $\overline{(1,0)}+\overline{(a,b)}=\overline{(a,b)}$

• Distributivgesetz $\overline{(a,b)}\cdot (\overline{(a,b)}+\overline{(a,b)})=\overline{(a,b)}\cdot \overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}\cdot \overline{(c,d)}$

Addition und Multiplikation gilt auch mit $\sim$ also: (Satz 5.5)

$(a,b)\sim (a^{{}^{\prime }},b^{{}^{\prime }})\wedge (c,d)\sim (c^{{}^{\prime }},d^{{}^{\prime }})⟺\overline{(a+c,b+d)}=\overline{(a^{{}^{\prime }}+c^{{}^{\prime }},b^{{}^{\prime }}+d^{{}^{\prime }})}$

\overline{(ac + bd, ad + bc)} = \overline{(a^{'}c^{'} + b^{'}d^{'}, a^{'}d^{'} + b^{'}c^{'})}$$Link to original

Teilbarkeit

Teilbarkeitsaufgaben

Definition

Seien $a,b\in \mathbb{Z}$. Die Zahl $a$ ist ein Teiler von $b$, wenn es ein $c\in \mathbb{Z}$ gibt, sodass $ac=b$ gilt. Man schreibt dann $a\mid b$. Ist $a$ kein Teiler von $b$, so schreibt man $a\nmid b$.

$k\mid l\wedge k\mid m⟹k\mid (l+m)$
$k\mid l\wedge k\mid l⟹k\mid (l-m)$
$k\mid l⟹k\mid l\cdot n$
$k\mid l\wedge m\mid n⟹k\cdot m\mid l\cdot n$ Wenn $m\ne 0$

Division mit Rest

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größter gemeinsamer Teiler

Definition

Sei $a,b\in \mathbb{Z}$. Dann gibt es ein $d\in \mathbb{N}$, sodass $M_{a,b}=d\mathbb{Z}$ gilt.
Dann ist $d$ der größte gemeinsame Teiler von $a$ und $b$ und wird $ggT(a,b)$ gennant.

Menge der Vielfachen

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Primzahl