Basis wechsel

Koordinatensystem

Definition

Sei $V$ ein reeler Vektorraum mit der Basis $B=(v_1,...,v_n)$
Dazu gehört ein Isomorphismus ${\Phi }_B:{\mathbb{R}}^n⟶V$
mit ${\Phi }_B(e_i)=v_i$ für alle $i=1,...,n$.
Ist $x=(x_1,...,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$ , so ist
${\Phi }_B=\sum _{i=1}^n{x}_i{v}_i=:v$
dabei heißt ${\Phi }_B$ das durch Basis $B$ bestimmte Koordinatensystem in $V$.

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Transformationsmatrix

Definition

Hat man zwei Basen $A=(v_1,...,v_n)$ und $B=(v_1,...,v_n)$ von $V$,
so haben wir entsprechend zwei Isomorphismen: ${\Phi }_A,{\Phi }_B:{\mathbb{R}}^n⟶V$ und einen Isomorphismus
$T_B^A:={\Phi }_B^{-1}\circ {\Phi }_A$
den man als Matrix aufgefasst die Transformationsmatrix des Basis wechsels nennt.

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Abbildung in Basiswechsel

Satz

Satz (Transformationsformel)

$M_{B^{\prime }}^{A^{\prime }}(\varphi )=T_{B^{\prime }}^B\cdot M_B^A(\varphi )\cdot (T_{A^{\prime }}^A{)}^{-1}$

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Basiswechsel Diagramm-0.canvas