Vektorräume

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Definition

Seien $(V,+)$ eine abelsche Gruppe mit $K$ ein Körper $V$ heißt Vektorraum über K (oder K-Vektorraum), falls es eine Abbildungen

\begin{array}{c, c, l} \cdot: & K \times V & \longrightarrow & V \\ & (\lambda,v) & \longmapsto & \lambda \cdot v \end{array}

Für alle $\lambda ,\mu \in K$ und $v,w\in V$ gilt:

1. $\lambda \cdot (v+w)=\lambda \cdot v+\lambda \cdot w$ (Distributivgesetz)

2. $(\lambda +\mu )\cdot v=\lambda \cdot v+\mu \cdot v$ (Distributivgesetz)

3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot v=\lambda \cdot (\mu \cdot v)$ (Assoziativgesetz)

4. $1\cdot v=v$ / $\lambda \cdot 0=0$

Untervektorraum

Definition

Sei $V$ ein Vektorraume über $K\subseteq V$ heißt Untervektorraum von $V$, wenn $U$ eine Untergruppe von $V$ ist $(U\le V)$ und für alle $\lambda \in K$ und $v\in U$ gilt: $\lambda v\in U$

Erzeugendensystem

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Erzeugendensystem

Definition

Der Raum $U_S$ heißt der von $S$ erzeugte Unterraum und wird mit
$span(S)$
bezeichnet.
Die Menge $S$ heißen in diesem Zusammenhang Erzeugendensystem von $U_S$

Beispiel

Sei $V=R^2$ und $S=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)\right\}$
Dann ist $span(S)=R^2$

siehe Basis

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linar unabhängig

Definition

Eine Teilmenge $S\subseteq V$ heißt linar unabhängig, wenn gilt:
Für beliebiege endliche Teilmengen $\{s_1,...,s_k\}\subseteq S$ besitzt die Gleichung:
${\lambda }_1{s}_1+\cdots +{\lambda }_k{s}_k=0({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_k\in \mathbb{R})$
gilt nur die Lösung:
${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_k=0$

Linearly Dependent Vectors form QC

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Basis

Übersicht

Erzeugendensystem > Basis > Standart-Basis

Definition

Sei $B\subseteq V$ eine maximale Teilmenge linar unabhängiger Vektoren und gelte zudem $span(B)=V$. Dann heißt $B$ Basis von $V$.

Beispiel

Ist die Standart-Basis des ${\mathbb{R}}^n$

Basis in Quanten Computing

Basis (Z)
Basis (X)
Basis (Y)

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Skalarprodukt

Definition

Seien $V$ ein Vektorraum über $\mathbb{R}$.
Eine Abbildung $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V⟶\mathbb{R}$
heißt Skalarprodukt, falls für alle $u,v,w\in V$ und $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ gelten:

• $⟨v,v⟩\ge 0$
• $⟨v,v⟩=0$, genau dann wenn $v=0$
• $⟨v,w⟩=⟨w,v⟩$
• $⟨\lambda v,w⟩=⟨v,\lambda w⟩=\lambda ⟨v,w⟩$
• $⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩$
• $⟨u,v+w⟩=⟨u,v⟩+⟨u,w⟩$

Lemma

\langle \cdot, \cdot\rangle: & \mathbb{R} \times \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (v,w) & \longmapsto & v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + \cdots + v_{n} w_{n} \end{array} $$ [[orthogonales system]]Link to original

Norm

1-Norm

Betragsummennorm

$||x|{|}_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$

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Standart / 2-Norm eines Vectors

$||v||=\sqrt{⟨v,v⟩}$

3-Norm eines Vectors

$||v|{|}_3=\sqrt[3]{|v_1{|}^3+|v_2{|}^3+\cdots +|v_n{|}^3}$

Maximumsnorm

$||v|{|}_{\infty }:=max\{|v_i|\}$

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Spaltensummennorm

Definition

Sei $K$ der Körper der reelen Zahlen. Für eine Matrix $A\in K^{n\times n}$ setzt man
$||A|{|}_1=\underset{||x||=1}{\max }||Ax|{|}_1=\underset{j}{\max }\sum _{i=1}^n|a_{ij}|$
und nennen dies die Spaltensummennorm von $A$

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