Homomorphismen

Definition

Seinen $(G,\ast )$ und $(H,\ast )$ Gruppen. Eine Abbildung $\varphi :G⟶H$ heißt (Gruppen)-Homomorphismus falls:
$\forall g,h\in G$ :
$\varphi (g\ast h)=\varphi (g)\circ \varphi (h)$
Isomorphismus: wenn $\varphi$ bijektiv ist.
Automorphismus: wenn Isomorphismus und $\varphi :G⟶G$

Bild und Kern

Sei $\varphi :G⟶H$ ein Gruppenhomophismus. Das Bild von $\varphi$ ist definiert durch:
$Im(\varphi ):=\{\varphi (g)|g\in G\}$
Der Kern von $\varphi$ ist definiert durch:
$ker(\varphi ):=\{g\in G|\varphi (g)=e_H\}$

Satz 7.20

Ist $\varphi :G⟶H$ ein Gruppenhomophismus, dann ist $\varphi$ genau dann injektiv, wenn $ker(\varphi )=\{e_G\}$