up:: Mat1 MOC
Quelle:
20221028_TH_M1-Skript_v02-8.pdf
Zusammenfassung
→ Beziehung zwischen 2 Mengen
→ Relation zwischen 2 Mengen (X und Y) heißt Abbildung,
wenn jedem x∈X höchstens ein y∈Y zugeortnet wird.
f(x)=2x
f:x⟶2x
y ist Bild von x unter der Abbildung f
x ist Urbild von y unter der Abbildung f
der Kern sind alle x wo y=0 ist.
Erklärung
Abbildungen sind spizelle Relationen. Sie sind Relationen auf zwei (nicht notwendigerweise) verschiedenen Mengen.
Definition
Eine linkstotale und rechtseindeutige Relation F⊆M×N zwischen zwei Mengen M und N heißt Abbildungen von M nach N. Wir schreiben:
\begin{array}{}
F: & M & \longrightarrow & N \
& x & \longmapsto & \mathcal{f}(x)
\end{array}
# Beispiele
\begin{array}{c, c, l}
a: & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{N} \
& n & \longmapsto & \text{n te Nachkommerstelle von } \pi
\end{array}
\begin{array}{c, c, l}
b: & \mathbb{Z} & \longrightarrow & \mathbb{N} \
& z & \longmapsto & |z|
\end{array}
# Eigenschaften von Abbildungen
![[injektiv]]![[surjektiv]]![[bijektiv]]
## Beispiel
\begin{array}{c, c, l}
f: & A & \longrightarrow & B \
& x & \longmapsto & x^2
\end{array}
Wenn:
$A = \mathbb{R}^{+} \land B = \mathbb{R}^{+} \implies$ [[bijektiv]]
$A = \mathbb{R} \land B = \mathbb{R}^{+} \implies$ [[surjektiv]]
$A = \mathbb{R}^{+} \land B = \mathbb{R} \implies$ [[injektiv]]
$A = \mathbb{R} \land B = \mathbb{R} \implies$ nichts
![[Komposition]]
# identische Abbildung
\begin{array}{c, c, l}
id_X: & X & \longrightarrow & X \
& x & \longmapsto & x
\end{array}
# Satz 3.27
1) $\mathcal{f}(A \cup B) \subseteq \mathcal{f}(A) \cup \mathcal{f}(B)$
2) $\mathcal{f}(A \cap B) = \mathcal{f}(A) \cap \mathcal{f}(B)$
3) $\mathcal{f}(X \backslash A) \supseteq \mathcal{f}(X) \backslash \mathcal{f}(A)$
4) $\mathcal{f}^{-1}(\mathcal{f}(A)) \supseteq A$
5) $\mathcal{f}(\mathcal{f}^{-1}(A)) \subseteq A$
6) $\mathcal{f}^{-1}(C \cup D) = \mathcal{f}^{-1}(C) \cup \mathcal{f}^{-1}(D)$
7) $\mathcal{f}^{-1}(C \cap D) = \mathcal{f}^{-1}(C) \cap \mathcal{f}^{-1}(D)$
8) $\mathcal{f}^{-1}(X \backslash C) = X \backslash \mathcal{f}^{-1}(C)$
# Satz 3.28
Seien $f: X \longrightarrow Y$ und $g: Y \longrightarrow Z$
1. Sind $\mathcal{f}$ und $g$ [[injektiv]], dann auch $g \circ f$
2. Ist $g \circ f$ [[injektiv]], so auch $f$
3. Ist $g \circ f$ [[surjektiv]], so auch $g$
4. Ist $f$ [[surjektiv]] und $g \circ f$ [[injektiv]], so ist $g$ [[injektiv]]
5. Ist $g$ [[injektiv]] und $g \circ f$ [[surjektiv]], so ist $f$ [[surjektiv]]
## Eigenschaften von linearen [[Abbildungen]]
$$f(2x) = 2f(x)$$
$$f(x+y) = f(x)+f(y) $$