Partition

Definition

Sei $A$ eine Menge. Die Menge $P\subseteq \mathcal{P}(A)$ heißt Partition von $A$, wenn gilt:
(P1) Für alle $M\in P$ gilt: $M\ne \varnothing$
(P2) Für alle $M,N\in P$ gilt: $M=N$ oder $M\cap N=\varnothing$
(P3) Für alle $x\in A$ gilt: Es gibt ein $M\in P$ so dass $x\in M$.

Beispiel

$A=\{1,2,3\}$ dann ist:
$\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$ oder $\{\{1,2\},\{3\}\}$
eine Partition.
Aber $\{\{1,2\},\{2,3\}\}$ nicht.

Satz

Sei $R$ eine Äquivalenzrelation auf der Menge $A$. Sei $A/R$ die Menge aller Äquivalenzklassen von $R$. Dann gilt: $A/R$ ist eine Partition von $A$.

Satz

Sei $P$ eine Partition einer Menge $A$. Die Relation $R\subseteq A\times A$ sei gegeben durch: $xRy\iff \exists M\in P:x\in M\wedge y\in M$
Dann ist $R$ eine Äquivalenzrelation.