Ring

Definition

Sein $R$ eine Menge mit zwei assoziativen Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ auf $K$. Dann heißt $(R,+,\cdot )$ Ring, falls:

• $(R,+)$ eine abelsche Gruppe ist

• und für $+$, die Distributivgesetze gelten.

• Ein Ring heißt kommutativ, falls $\cdot$ eine kommutative Verknüpfung ist.

• Gilt $\forall a,b\in R:ab=0\Rightarrow a=0\vee b=0$, so heißt der Ring nullteilerfrei.

• Gibt es ein neutrales Element bezüglich $\cdot$ (oft wir dieses $1$ gennant), so heißt $R$ Ring mit Eins.

Einheitsgruppe

Definition

Ist $(R,+,\cdot )$ ein Ring mit Eins. Ein Element $a\in R$ heißt Einheit, wenn es ein $b\in R$ gibt, so dass gilt: $ab=ba=1$.

Einheiten sind also die multiplikativ invertierbaren Elemente von $R$.
Wir bezeichnen die Menge der Einheiten von $R$ mit $R^{\ast }$.

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