Skalarprodukt

Definition

Seien $V$ ein Vektorraum über $\mathbb{R}$.
Eine Abbildung $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V⟶\mathbb{R}$
heißt Skalarprodukt, falls für alle $u,v,w\in V$ und $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ gelten:

• $⟨v,v⟩\ge 0$
• $⟨v,v⟩=0$, genau dann wenn $v=0$
• $⟨v,w⟩=⟨w,v⟩$
• $⟨\lambda v,w⟩=⟨v,\lambda w⟩=\lambda ⟨v,w⟩$
• $⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩$
• $⟨u,v+w⟩=⟨u,v⟩+⟨u,w⟩$

Lemma

\langle \cdot, \cdot\rangle: & \mathbb{R} \times \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (v,w) & \longmapsto & v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + \cdots + v_{n} w_{n} \end{array} $$ [[orthogonales system]]