symmetrische Gruppe

Lemma

$[n]:=\{1,2,3,...n\}$

Definition

Die Mengen aller bijektiven Abbildungen
$\sigma :[n]⟶[n]$
bezeichnen wir mit $S_n$ und nennen dies symmetrische Gruppe.

Die Elemente von $S_n$, können wir wie folgt darstellen:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ...& n\\ \sigma (1)& \sigma (2)& ...& \sigma (n)\end{array}\right)$$

Dies ist eine zweizeilige Matrix, wobei in der oberen Zeile die Elemente aus $[n]$ stehen und in der unteren Zeile steht jeweils das Bild $\sigma (i)$ von $i$ unter $i$.

Beispiel

$$\begin{array}{rl}{S}_1=& \left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\right\}\\ S_2=& \left\{\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\right\}\\ S_3=& \left\{\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)\right\}\end{array}$$

$|S_4|=24$
$|S_n|=n!$