Eiegenwerte und Eigenvektoren

Eigenwert

Definition

Sei $K$ ein Körper und $V=K^n$ ein Vektorraum über $K$ und $\varphi :V⟶V$ eine lineare Abbildung. Ein Vektor $0\ne v\in V$ heißt Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$,
falls gilt: $\varphi (v)=\lambda v$

Beispiel

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$$ $$v=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$ $$Av=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)=2v$$

$v$ ist der Eigenvektor zum Eigenwert $2$

Satz

$det(A-\lambda 1_n)=0$

Eigenvectors and eigenvalues | Chapter 14, Essence of linear algebra - YouTube

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diagonalisierbar

Definition

Eine lineare Abbildung heißt diagonalisierbar,
falls es eine Basis des $K^n$ aus Eigenvektoren von $\varphi$ gibt.

Beispiel

Die Abbildung $\varphi :{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2$ mit $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$
ist digonalisierbar da $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ Eigenvektoren von $\varphi$ sind.

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Satz 12.16

Sei $\varphi :K^n⟶K^n$ eine lineare Abbildung mit darstellende Matrix $A$. Dann ist $\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von $\varphi$, wenn $det(A-\lambda 1_n)=0$

Beispiel

Sei $\varphi$ eine lineare Abbildung mit der darstellende Matrix

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Dann ist $\mathcal{X}_{A}(\lambda) = \lambda^{2} -5 \lambda + 6$ . Die Nullstellen von $\mathcal{X}_{A}$ sind $\lambda_{1} = 2$ $\lambda_{2} = 3$ Dies sind die [[Eigenwert|Eigenwerte]] von $\phi$. Um die [[Eigenwert|Eigenvektoren]] zu finden müssen wir nun das [[Linare Gleichungssysteme|linares Gleichungssystem]] $(A - \lambda \mathbb{1}_{n})x = 0$ für jeden [[Eigenwert]] $\lambda$ von $\phi$ lösen. Für $\lambda_{1} = 2$ erhalten wir das System:

\begin{pmatrix}
0 & 3 \
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1} \
x_{2}
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
0 \
0
\end{pmatrix}

Wir erhalten für $x_{2} = 0$ und $x_{1}$ dürfen wir beliebig wählen. Also ist $\begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \end{pmatrix}$ für alle $x_{1} \in \mathbb{R}$ ein [[Eigenwert|Eigenvektor]] zum [[Eigenwert]] $\lambda_{1} = 2$. Analog erhalten wir für $\lambda_{2} = 3$ den [[Eigenwert|Eigenvektor]]: $$\begin{pmatrix} 3x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$$ ![[Eigenraum]]